Выделение полного квадрата🤯
Привет! Сейчас мы разберём, что такое выделение полного квадрата и зачем это нужно. Обещаю, это помогает решать задачки: самая изюминка ждёт в конце ;)
Метод основывается на формуле сокращённого умножения, которую изучают ещё в 7 классе:
Когда нам попадается такое выражение, что мы можем воспользоваться этой формулой, мы встречаем то, что называется полный квадрат. Например:
Однако так везёт не всегда. К примеру, следующее выражение, как видно после простого преобразования, состоит из полного квадрата и ещё некоторой «добавки»:
Вот такое преобразование, когда мы преобразуем выражение в полный квадрат + ещё что-то, и называется выделением полного квадрата. Сейчас разберёмся, всегда ли можно такое провернуть, и зачем это всё-таки нужно.
Произвольный квадратный трёхчлен
Можно заметить, что выше мы рассматривали только выражения, которые являются квадратными трёхчленами. Хочется задаться вопросом: если нам дали какой-то произвольный квадратный трёхчлен, можно ли в нём выделить полный квадрат? Ответ: да! И для этого есть общий метод, который мы сейчас разберём на примере написанного «от балды» квадратного трёхчлена.
- Берём наш трёхчлен и выносим старший коэффициент за скобку из всех выражений с x, чтобы x² оказался с коэффициентом 1:
2. Выражение с x надо представить в виде 2·x·число:
3. А потом нужно (фокус-покус!) добавить число², и его же вычесть — тем самым, в сумме мы ничего не изменим:
4. Но зато то, что выделено жёлтым, это теперь полный квадрат! И мы можем преобразовать выражение вот так:
5. Наконец, осталось только раскрыть скобки, и мы получим итоговое выражение с выделенным полным квадратом:
Корни квадратного трёхчлена
Что нам это дало? Мы теперь очень много можем сказать про изначальное выражение. Например, если мы хотим найти его корни, то это очень просто сделать:
Если проделать это с произвольным квадратным трёхчленом, то получится как раз всем известная формула корней через дискриминант!
Минимум и максимум
Преобразование
позволяет изучить квадратный трёхчлен на минимум и максимум. Слева совершенно непонятно, какое наименьшее значение он может принимать. Однако в форме как справа всё совершенно очевидно: квадрат — всегда число неотрицательное! А значит, минимальное значение, которое трёхчлен может принять, есть
Более того, понятно, при каком значении x оно достигается: надо, чтобы квадрат был нулём, то есть
Наконец, задачка из ЕГЭ😋
Задание 11. Найдите наименьшее значение функции
В первую очередь, заметим, что если a больше b, то и 7^a больше 7^b. Поэтому для того, чтобы найти наименьшее значение всей функции достаточно найти наименьшее значение квадратного трёхчлена, стоящего в степени, и потом возвести 7 в соответствующую степень. Попробуем:
Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно 2 и достигается при значении x равном 1. Значит, ответ: 7²=49.
