На шахматной доске 100 × 100 коню разрешено ходить только в четырех направлениях: на 2 вверх и 1 влево, на 2 вверх и 1 вправо, на 2 вправо и 1 вверх, на 2 вправо и 1 вниз. Докажите, что с какой бы клетки он ни начал, удастся сделать лишь конечное число ходов. Тема: полуинвариант

Чтобы доказать, что количество ходов коня на шахматной доске 100 × 100 ограничено, мы можем воспользоваться методом полуинварианта.

Мы можем заметить, что каждый ход коня делает его позицию по горизонтали или вертикали меньше или равной текущей позиции. Таким образом, можно установить полуинвариант, что сумма координат коня (горизонтальная позиция плюс вертикальная позиция) не увеличивается после каждого хода.

Так как начальная координата коня - (X, Y) - также имеет конечные значения (100 x 100 доска), то сумма координат также ограничена. Это значит, что на каждом ходу сумма координат уменьшается или остается постоянной.

Так как сумма координат коня ограничена и не может бесконечно увеличиваться, количество ходов также будет ограничено. Таким образом, мы доказали, что независимо от начальной позиции коня на шахматной доске 100 × 100, количество ходов будет конечным.

Заметим, что мы воспользовались только полуинвариантом суммы координат, поэтому можем заключить, что количество ходов коня на шахматной доске 100 × 100 ограничено, не вдаваясь в подробности конкретных ходов.