На доске записано 10 положительных чисел. За одну операцию разрешается выбрать два различных числа и заменить их на их среднее арифметическое и их среднее гео- метрическое. Докажите, что начальный набор чисел больше никогда не появится.

Докажем это по индукции. Предположим, что после каждой операции набор чисел становится новым начальным набором, и покажем, что это также будет верно после следующей операции.

Пусть у нас есть набор чисел a_1, a_2, ..., a_10. Рассмотрим операцию, где выбираются числа a_i и a_j (i ≠ j) и заменяются на их среднее арифметическое и среднее геометрическое.

После операции, у нас будет новый набор чисел b_1, b_2, ..., b_10, где

b_k = (a_k + a_l) / 2 (1) b_m^2 = a_m * a_n (2)

Заметим, что каждое число b_k (k = 1, 2, ..., 10) получается как среднее арифметическое двух различных чисел из предыдущего набора. То есть, каждое b_k может быть представлено в виде b_k = (a_i + a_j) / 2.

Теперь докажем, что после любой операции, мы не можем получить начальный набор чисел a_1, a_2, ..., a_10.

Предположим, что после операции мы получаем начальный набор чисел a_1, a_2, ..., a_10. Тогда должны существовать два различных числа a_i и a_j, такие что:

(a_i + a_j) / 2 = a_k (3) sqrt(a_i * a_j) = a_m (4)

Домножим уравнение (4) на 2:

2 * sqrt(a_i * a_j) = 2 * a_m (5)

Возведем обе части (5) в квадрат:

4 * a_i * a_j = 4 * a_m^2 (6)

Но из уравнения (3) мы знаем, что (a_i + a_j) / 2 = a_k, поэтому (6) можно переписать следующим образом:

2 * (a_k^2 - a_m^2) = 0

Это означает, что a_k^2 = a_m^2, и так как a_k ≠ a_m, получаем противоречие.

Таким образом, мы доказали, что начальный набор чисел больше никогда не появится после операции.