На доске записано 10 положительных чисел. За одну операцию разрешается выбрать два различных числа и заменить их на их среднее арифметическое и их среднее гео- метрическое. Докажите, что начальный набор чисел больше никогда не появится.

Пусть начальный набор чисел появится снова после нескольких операций. Это означает, что после выполнения операций набор чисел вернется к точно такому же состоянию, как в начале.

Рассмотрим сумму всех чисел в начальном наборе. После каждой операции эта сумма сохраняется, так как мы заменяем два числа на их среднее арифметическое. Поэтому, если начальный набор чисел появится снова, сумма всех чисел в нем останется той же.

Теперь рассмотрим произведение всех чисел в начальном наборе. После каждой операции это произведение также сохраняется, так как мы заменяем два числа на их среднее геометрическое. Поэтому, если начальный набор чисел появится снова, произведение всех чисел в нем останется тем же.

Но сумма и произведение чисел не могут оставаться неизменными при каждой операции, если в наборе чисел есть как минимум два различных числа. Поэтому начальный набор чисел больше никогда не появится.

Таким образом, доказано, что начальный набор чисел больше никогда не появится.