Как члены предложения насколько тонкого ценителя искусства приглашают на все выставки. - сравнительное обстоятельство.
Как вводные слова: Разумеется, Конечно - они выражают уверенность или подтверждение.
Обмануть маму я не смог, потому что должен был доказать, что действительно верю ей как врачу. - вводное слово "потому что" сообщает причину или объяснение действия.
Надеюсь, эта информация поможет вам лучше понять использование союза "как" и обособленных членов предложения. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!