Demonstrați că ultima cifră a pătratului unui număr poate fi 0,1,4,5,6,9

Для доказательства этого факта обратимся к свойству последних цифр в числах. Число вида n может быть записано как 10k + n, где k - некоторое целое число. Рассмотрим площадь этого числа:

(10k + n)² = 100k² + 20kn + n² = 10(10k² + 2kn) + n²

Заметим, что последние две цифры числа 10(10k² + 2kn) + n² зависят только от n², так как 10 умноженное на целое число даёт ноль в качестве последних двух цифр. Теперь переберём значения n: 0² = 0, 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 (последняя цифра 6), 5² = 25 (последняя цифра 5), 6² = 36 (последняя цифра 6), 7² = 49 (последняя цифра 9), 8² = 64 (последняя цифра 4), 9² = 81 (последняя цифра 1).

Таким образом, мы можем заключить, что последняя цифра площадей чисел может быть 0, 1, 4, 5, 6 или 9.