На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. Прямая, проходящая через вершину A параллельно стороне BC, пересекает эти окружности в точках N и M. Докажите, что MN = BC

Поскольку прямая MN проходит через вершину A параллельно стороне BC, то угол MAN и угол ABC являются соответственными углами, а угол MNA и угол ACB являются соответственно вертикальными углами. Также, угол ACB и угол ABC являются соответственными углами в сегменте одной и той же окружности, построенной на стороне AC как на диаметре. Следовательно, эти две пары углов равны.

Теперь рассмотрим треугольник MNC. Угол MNC является соответственным углом углу ACB, а угол MCN является вертикальным углом углу ABC. Значит, эти два угла также равны.

Так как в треугольнике MNC два угла при основании NC равны соответственными углами треугольника ABC, то треугольники MNC и ABC подобны по стороне-углу-стороне (по первому признаку подобия треугольников).

Поскольку соответствующая сторона треугольника MNC равна стороне треугольника ABC (MN = AC), то сторона BC треугольника ABC равна стороне MN треугольника MNC. То есть MN = BC.

Доказано, что MN = BC.