На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. Прямая, проходящая через вершину A параллельно стороне BC, пересекает эти окружности в точках N и M. Докажите, что MN = BC

Докажем построением: Пусть P - точка пересечения окружности, построенной на стороне AB как на диаметре, и прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC. Тогда, так как угол APB - прямой, то APB = 90 градусов. Аналогично, если Q - точка пересечения окружности, построенной на стороне AC как на диаметре, и прямой, проходящей через вершину A и параллельной стороне BC, то AQС = 90 градусов. Так как сегмент APQ является общей стороной двух окружностей, то угол AQP + угол APQ = 180 градусов. Из выпуклого четырехугольника AQPQ следует, что его противолежащие стороны перпендикулярны, а значит, угол QPA = углу PQA = 90 градусов. Следовательно, треугольники PBC и QCB являются прямоугольными. Так как P и Q находятся на окружностях с диаметрами AB и AC соответственно, то BP и CQ - их радиусы и, как известно, равны половине соответствующих сторон ABC. Тогда, так как углы PBC и QCB - прямые, то BP и CQ также являются высотами треугольников PBC и QCB соответственно. Следовательно, BP = CQ. Кроме того, BC = BP + CQ. Таким образом, MN = BC, что и требовалось доказать.