перевести в обыкновенную дробь двумя способами из этих переодических дробей 0,2(43)
Давайте вместе решим задачу перевода периодической десятичной дроби 0,2(43) в обыкновенную дробь. Начнем пошагово.
1. Сначала определите полный период дроби. У нас он состоит из двух цифр: 43.
2. Обозначим нашу дробь как x: \( x = 0,2434343... \)
3. Чтобы избавиться от периода, домножим x на 1000 (поскольку в периоде 2 цифры, и перед ними еще одна), чтобы сдвинуть запятую на 3 знака вправо:
\( 1000x = 243,434343... \)
4. Теперь вычтем из этого уравнения исходное (чтобы периодическая часть ушла):
\( 1000x - x = 243,434343... - 0,2434343... \)
5. Решим получившееся уравнение:
\( 999x = 243 \)
6. Теперь найдем x, поделив обе части уравнения на 999:
\( x = \frac{243}{999} \)
Это первый способ получения дроби. Но можно упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который в данном случае равен 27:
\( x = \frac{243 \div 27}{999 \div 27} = \frac{9}{37} \)
7. Второй способ перевода периодической дроби в обыкновенную дробь - это выделение целой части и периодической части в виде суммы:
\( x = 0,2 + 0,0434343... \)
8. Выражаем второе слагаемое через обыкновенную дробь по аналогии с первым способом (напомню, что обозначим его через y):
\( y = 0,0434343... \)
\( 100y = 4,34343... \)
\( 100y - y = 4,34343... - 0,04343... \)
\( 99y = 4,3 \)
\( y = \frac{43}{990} \)
Теперь упростим вторую дробь, разделив числитель и знаменатель на их НОД, который равен 1:
\( y = \frac{43}{990} \)
9. Теперь складываем целую часть и обыкновенную дробь:
\( x = 0,2 + \frac{43}{990} = \frac{2}{10} + \frac{43}{990} \)
\( x = \frac{1}{5} + \frac{43}{990} = \frac{198}{990} + \frac{43}{990} = \frac{241}{990} \)
И это наша окончательная дробь вторым способом. Но и её можно упростить, найдя НОД для 241 и 990, который равен 1, так что эта дробь уже в упрощенном виде.
Итак, у нас есть две формы обыкновенной дроби для 0,2(43): \( \frac{9}{37} \) и \( \frac{241}{990} \). Обе дроби правильно отражают значение исходной периодической десятичной дроби.
