Решите задачи
Хорошо, давай вместе разберемся с этими задачами по степеням. Начнем с первого пункта, где нам нужно выполнить вычисления. Поехали!
- a) \(5^{-3} \cdot \frac{10}{7}\) - для начала преобразуем пятерку в степени в дробь. Так как это отрицательная степень, мы получим \( \frac{1}{125} \). После этого умножим на \( \frac{10}{7} \):
\[ \frac{1}{125} * \frac{10}{7} = \frac{10}{875} = \frac{2}{175}. \]
б) \((-7)^{-2}\) - это обратная степень, поэтому мы переворачиваем семерку со степенью и получаем такую дробь:
\[ \frac{1}{(-7)^2} = \frac{1}{49}. \]
в) \( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2} \) - в этом случае у нас отрицательная степень и дробь. Чтобы это упростить, сначала перевернем дробь и возведем в квадрат:
\[ \left(-3\right)^2 = 9. \]
Отлично, теперь перейдем ко второму пункту.
- а) \(3^{-4} \cdot 27^2\) - заметим, что \(27\) это \(3^3\), так что можно представить выражение следующим образом:
\[ 3^{-4} \cdot (3^3)^2 = 3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{6-4} = 3^2 = 9. \]
б) \(4^{-3} \cdot 2^4\) - здесь у нас степени с разными основаниями, то есть 2 и 4. Но 4 - это \(2^2\), поэтому мы можем преобразовать четверку:
\[ (2^2)^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-6} \cdot 2^4 = 2^{4-6} = 2^{-2}. \]
И теперь, раз это обратная степень, можно переписать это так:
\[ \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Переходим к третьему заданию, где нам нужно представить выражение в виде дроби.
- а) \(8^{-6}\) - восемью в степени является число 2, точнее \(8 = 2^3\), так что:
\[ (2^3)^{-6} = 2^{-18}. \]
б) \(3 \left(\frac{x^2}{y}\right)^{-2}\) - здесь у нас отрицательная степень у всей дроби. Перевернем ее и возведем в нужную степень:
\[ 3 \cdot \left(\frac{y}{x^2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{y^2}{x^4}. \]
Теперь упростим выражение в четвертом задании:
- \( (2^9)^6 \cdot 16^{-4}\) - знаем, что \(16 = 2^4\), и можем использовать это:
\[ 2^{54} \cdot (2^4)^{-4} = 2^{54} \cdot 2^{-16} = 2^{54-16} = 2^{38}. \]
И, наконец, пятый пункт:
- Здесь нам нужно выразить \( \frac{(2^9)^6}{2^{42}} \) в виде степени числа 2.
Используем свойства степеней:
\[ \frac{2^{54}}{2^{42}} = 2^{54-42} = 2^{12}. \]
Надеюсь, это поможет. У тебя все получится, главное - внимательно применять свойства степеней и не спешить!
