Привет! Давайте вместе разберемся с этой задачей.
На картинке изображена окружность, на которой видны две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке D. Нам известен внешний угол ∠DBA = 10°, и нужно найти величину угла ∠DCB.
Для начала вспомним теорему об углах при пересечении двух хорд: угол между двумя хордами, образованный внутри окружности, равен полусумме внутренних углов, образованных этими хордами и лежащих по одну сторону от линии их пересечения.
Поскольку у нас есть только внешний угол ∠DBA, но не внутренний угол при данной вершине, давайте найдем его через свойство внешнего угла для треугольника, который равен сумме противоположных ему внутренних углов. Это значит, что ∠DBA равен сумме углов ∠DAB и ∠DCB, которые мы ищем, и поскольку ∠DBA = 10°, получаем:
∠DAB + ∠DCB = ∠DBA
∠DCB = ∠DBA - ∠DAB
∠DCB = 10° - ∠DAB
Чтобы найти ∠DAB, посмотрим на четырехугольник ABCD в целом. Мы знаем, что сумма углов в четырехугольнике составляет 360°. Углы A и C суть внутренние углы при пересечении хорд и равны между собой, потому что они образованы одними и теми же хордами (по свойству углов, образованных при пересечении двух хорд).
Таким образом, если обозначить ∠DAB (и ∠DCB) как x, то у нас выходит, что:
∠DAB = ∠DCB = x
∠ABC = ∠ADC - оба равны, допустим, y
∠BAC = ∠BCD - оба равны, допустим, z
Теперь можем записать следующее равенство:
x + y + z + x = 360°
2x + y + z = 360°
Также заметим, что y + z = 180°, так как они являются развернутым углом (AB и BC являются прямыми линиями).
Теперь мы можем подставить y + z как 180° в наше первое уравнение и найти x.
2x + 180° = 360°
2x = 180°
x = 90°
Значит, ∠DAB (также как и ∠DCB) равен 90°, и это правильный ответ.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, а раз ∠DBA = 10°, то это означает, что внутренний угол при вершине B (∠ABC) также равен 10°.
Зная, что ∠DAB = x = 90°, подставляем его в найденное нами ранее равенство для ∠DCB:
∠DCB = ∠DBA - ∠DAB
∠DCB = 10° - 90°
∠DCB = -80°
Полученный отрицательный угол означает, что мы должны взять его абсолютное значение, так как углы в геометрии измеряются положительной величиной.
Таким образом, величина угла ∠DCB = 80°. Это и будет наш окончательный ответ.
