В треугольнике  𝐴 𝐵 𝐶 ABC. проведены отрезки  𝐵 𝑀 BM к стороне  𝐴 𝐶 AC и  𝐴 𝐹 AF к стороне  𝐵 𝐶 BC. Данные отрезки пересекаются в точке  𝑇 T. Найди отношение площади четырёхугольника  𝑇 𝐹 𝐶 𝑀 TFCM к площади треугольника  𝐴 𝑇 𝐵 ATB, если  𝐴 𝑀 = 𝐶 𝑀 AM=CM,  ∠ 𝐶 𝐴 𝐹 = ∠ 𝐵 𝐴 𝐹 ∠CAF=∠BAF,  𝐴 𝐵 : 𝐴 𝐶 = 1 : 4 AB:AC=1:4.

В данной задаче нам нужно найти отношение площади четырёхугольника TFCM к площади треугольника ATB. Для начала, обозначим точку пересечения отрезков BM и AF за точку Т. Так как AM=CM и ∠CAF=∠BAF, то треугольники AMC и CAF равнобедренные. Значит, ∠ACM=∠CAM и ∠AFC=∠CAF. Теперь, рассмотрим соотношения площадей четырёхугольника TFCM и треугольника ATB. Так как отрезки BM и AF являются медианами треугольника ABC, то точка Т является центром тяжести треугольника ABC. Следовательно, площадь четырёхугольника TFCM равна половине площади треугольника ABC. Известно, что AB:AC=1:4. По свойству медианы треугольника ABC, BM:MC=AB:AC, следовательно, BM:MC=1:4. Так как AM=CM, то BM=MC. Тогда BM=MC=1, а AM=CM=4. Таким образом, так как площадь четырёхугольника TFCM равна половине площади треугольника ABC, а площадь треугольника ABC равна площади треугольника ATB, то отношение площади TFCM к площади ATB равно 1:2. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять задачу!