при каких целых значениях n является целым числом?
Привет! Давай разберёмся с этой задачей вместе. Тебе нужно определить, при каких целых значениях \( n \) дробь
\( \frac{n^2 - n + 3}{n + 1} \)
является целым числом.
Для этого надо рассмотреть два случая:
Числитель делится на знаменатель нацело (то есть, есть такие целые \( n \), что \( n^2 - n + 3 \) будет кратно \( n + 1 \)).
Дробь сокращается так, что в знаменателе остаётся 1 (но этого быть не может, поскольку числитель - квадратичный трёхчлен, а знаменатель - линейный).
Рассмотрим первый случай. Для начала попробуем разделить \( n^2 - n + 3 \) на \( n + 1 \) с остатком.
Интуитивно можно предположить, что \( n^2 - n + 3 \) можно записать как \( (n + 1)(n - 2) + 7 \), так как \( (n + 1)(n - 2) = n^2 - 2n + n - 2 = n^2 - n - 2 \). Далее, чтобы получить из \( -2 \) число \( +3 \), нужно добавить \( 5 \), но у нас после сокращения должно остаться \( +7 \), поэтому \( n^2 - n + 3 \) не делится нацело на \( n + 1 \) ни для каких целых \( n \).
Таким образом, единственный способ получить целое число - это если \( n + 1 \) будет делить число 7 (так как это остаток), то есть \( n + 1 \) должно быть равно \( 1 \) или \( 7 \), так как это единственные натуральные делители числа 7.
Отсюда получаем два значения для \( n \):
\( n + 1 = 1 \) даёт \( n = 0 \) \( n + 1 = 7 \) даёт \( n = 6 \)
Итак, при \( n = 0 \) и \( n = 6 \) дробь
\( \frac{n^2 - n + 3}{n + 1} \)
является целым числом.
