Друзья Митя и Дима копили на конструкторы ЛЕГО. В начале года у каждого из них была одна и та же сумма. Но сбережения Димы росли на 50% каждый месяц, а сбережения Мити на 20% в нечетные месяцы и на 25% в чётные. Дима накопил на конструктор за 8 месяцев. А сколько месяцев понадобилось Мите, чтобы накопить на такой же конструктор?

Question 1

Задача Задача №101980

А

Аноним

10 декабря 2023 14:45 · публичный вопрос

А

Аноним 10 декабря 2023 14:45

Друзья Митя и Дима копили на конструкторы ЛЕГО. В начале года у каждого из них была одна и та же сумма. Но сбережения Димы росли на 50% каждый месяц, а сбережения Мити на 20% в нечетные месяцы и на 25% в чётные. Дима накопил на конструктор за 8 месяцев. А сколько месяцев понадобилось Мите, чтобы накопить на такой же конструктор?

Answer

Для решения данной задачи следует использовать принцип наращивания процента (или принцип суммы постоянных приращений).

Пусть x - начальная сумма сбережений у Мити. Так как сбережения Мити росли на 20% в нечетные и на 25% в четные месяцы, можно записать следующие выражения для суммы сбережений Мити после каждого месяца:

1 месяц: x + 0,2x = 1,2x 2 месяц: 1,2x + 0,25 * 1,2x = 1,2x + 0,3x = 1,5x 3 месяц: 1,5x + 0,2 * 1,5x = 1,5x + 0,3x = 1,8x 4 месяц: 1,8x + 0,25 * 1,8x = 1,8x + 0,45x = 2,25x 5 месяц: 2,25x + 0,2 * 2,25x = 2,25x + 0,45x = 2,7x и так далее ...

Мы видим, что сбережения Мити чередуются между 1,2x и 1,5x каждые два месяца. То есть через каждые два месяца сумма сбережений Мити возрастает на 0,3x.

Теперь посмотрим на сбережения Димы. Он накопил на конструктор за 8 месяцев, что означает, что его сбережения выросли на 50% за каждый из этих 8 месяцев. То есть, начиная с начальной суммы, сбережения Димы могут быть записаны следующим образом:

1 месяц: x + 0,5x = 1,5x 2 месяц: 1,5x + 0,5 * 1,5x = 1,5x + 0,75x = 2,25x 3 месяц: 2,25x + 0,5 * 2,25x = 2,25x + 1,125x = 3,375x 4 месяц: 3,375x + 0,5 * 3,375x = 3,375x + 1,6875x = 5,0625x 5 месяц: 5,0625x + 0,5 * 5,0625x = 5,0625x + 2,53125x = 7,59375x и так далее ...

Мы видим, что сбережения Димы чередуются между 1,5x и 2,25x каждые два месяца. То есть через каждые два месяца сумма сбережений Димы возрастает на 0,75x.

Теперь у нас есть информация о том, насколько растут сбережения Мити и Димы каждые два месяца. Мы видим, что приращение сбережений Мити (0,3x) меньше приращения сбережений Димы (0,75x).

Чтобы вычислить, сколько месяцев понадобится Мите, чтобы накопить на конструктор, мы должны найти такое количество двухмесячных периодов, после которых сбережения Мити превысят сбережения Димы.

Посмотрим на суммы сбережений каждые два месяца:

2 месяц: 1,5x (Митя) vs 2,25x (Дима) 4 месяц: 2,7x (Митя) vs 5,0625x (Дима) 6 месяц: 4x (Митя) vs 9,1484375x (Дима) 8 месяц: 5,7x (Митя) vs 16,1533203125x (Дима)

Мы видим, что сбережения Мити (1,5x, 2,7x, 4x и 5,7x) равны или меньше чем сбережения Димы (2,25x, 5,0625x, 9,1484375x и 16,1533203125x) в течение первых 8 месяцев. Следовательно, Мите понадобится как минимум 8 месяцев, чтобы накопить на конструктор.

Ответ: Мите понадобится 8 месяцев для накопления на такой же конструктор.

Question 2

Друзья Митя и Дима копили на конструкторы ЛЕГО. В начале года у каждого из них была одна и та же сумма. Но сбережения Димы росли на 50% каждый месяц, а сбережения Мити на 20% в нечетные месяцы и на 25% в чётные. Дима накопил на конструктор за 8 месяцев. А сколько месяцев понадобилось Мите, чтобы накопить на такой же конструктор?

Answer

Для решения данной задачи следует использовать принцип наращивания процента (или принцип суммы постоянных приращений). Пусть x - начальная сумма сбережений у Мити. Так как сбережения Мити росли на 20% в нечетные и на 25% в четные месяцы, можно записать следующие выражения для суммы сбережений Мити после каждого месяца: 1 месяц: x + 0,2x = 1,2x 2 месяц: 1,2x + 0,25 * 1,2x = 1,2x + 0,3x = 1,5x 3 месяц: 1,5x + 0,2 * 1,5x = 1,5x + 0,3x = 1,8x 4 месяц: 1,8x + 0,25 * 1,8x = 1,8x + 0,45x = 2,25x 5 месяц: 2,25x + 0,2 * 2,25x = 2,25x + 0,45x = 2,7x и так далее ... Мы видим, что сбережения Мити чередуются между 1,2x и 1,5x каждые два месяца. То есть через каждые два месяца сумма сбережений Мити возрастает на 0,3x. Теперь посмотрим на сбережения Димы. Он накопил на конструктор за 8 месяцев, что означает, что его сбережения выросли на 50% за каждый из этих 8 месяцев. То есть, начиная с начальной суммы, сбережения Димы могут быть записаны следующим образом: 1 месяц: x + 0,5x = 1,5x 2 месяц: 1,5x + 0,5 * 1,5x = 1,5x + 0,75x = 2,25x 3 месяц: 2,25x + 0,5 * 2,25x = 2,25x + 1,125x = 3,375x 4 месяц: 3,375x + 0,5 * 3,375x = 3,375x + 1,6875x = 5,0625x 5 месяц: 5,0625x + 0,5 * 5,0625x = 5,0625x + 2,53125x = 7,59375x и так далее ... Мы видим, что сбережения Димы чередуются между 1,5x и 2,25x каждые два месяца. То есть через каждые два месяца сумма сбережений Димы возрастает на 0,75x. Теперь у нас есть информация о том, насколько растут сбережения Мити и Димы каждые два месяца. Мы видим, что приращение сбережений Мити (0,3x) меньше приращения сбережений Димы (0,75x). Чтобы вычислить, сколько месяцев понадобится Мите, чтобы накопить на конструктор, мы должны найти такое количество двухмесячных периодов, после которых сбережения Мити превысят сбережения Димы. Посмотрим на суммы сбережений каждые два месяца: 2 месяц: 1,5x (Митя) vs 2,25x (Дима) 4 месяц: 2,7x (Митя) vs 5,0625x (Дима) 6 месяц: 4x (Митя) vs 9,1484375x (Дима) 8 месяц: 5,7x (Митя) vs 16,1533203125x (Дима) Мы видим, что сбережения Мити (1,5x, 2,7x, 4x и 5,7x) равны или меньше чем сбережения Димы (2,25x, 5,0625x, 9,1484375x и 16,1533203125x) в течение первых 8 месяцев. Следовательно, Мите понадобится как минимум 8 месяцев, чтобы накопить на конструктор. Ответ: Мите понадобится 8 месяцев для накопления на такой же конструктор.