.

Давай сначала рассмотрим первый вопрос. Нам дан равносторонний треугольник со стороной 8 см, который вписан в окружность. Мы должны найти радиус этой окружности. Равносторонний треугольник имеет центр описанной окружности в точке пересечения его высот. Высота в равностороннем треугольнике также является медианой и биссектрисой. Она делит сторону треугольника пополам. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и одним из катетов 4 см (половина стороны треугольника). Высоту можно найти по теореме Пифагора: h = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 см. Высота равностороннего треугольника связана с радиусом описанной окружности формулой h = √3 / 2 * R, где R – искомый радиус. Подставим известные значения: √48 = √3 / 2 * R R = 2 * √48 / √3 R = 2 * √(16*3) / √3 R = 2 * 4√3 / √3 R = 8√3 / √3 R = 8 см Итак, радиус окружности, в которую вписан данный треугольник, равен 8 см.