.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и окружности, описанной вокруг него. По условию задачи известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2,5, а радиус описанной окружности равен 5. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника. Значит, гипотенуза C равна диаметру окружности, то есть равна 2r, где r - радиус окружности. С учетом данных задачи получаем, что C = 2 * 5 = 10 единиц. Теперь, зная гипотенузу, мы можем найти два катета A и B, используя теорему Пифагора \( A^2 + B^2 = C^2 \). Однако у нас нет значений катетов, но мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, и в прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусов. Следовательно, два других угла должны в сумме давать также 90 градусов. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности выражается через катеты и гипотенузу формулой \( r = \frac{A + B - C}{2} \). Исходя из этой формулы и того факта, что C уже известно и равно 10, а r равно 5, мы получаем следующее уравнение: \( 5 = \frac{A + B - 10}{2} \). Умножив обе части уравнения на 2 и прибавив 10 к обеим частям, получаем \( A + B = 20 \). Таким образом, мы выразили сумму катетов через известные величины. Теперь, используя теорему Пифагора, где \( C^2 = A^2 + B^2 \) и известно, что \( C = 10 \), мы можем записать уравнение \( 10^2 = A^2 + B^2 \), то есть \( 100 = A^2 + B^2 \). Итак, у нас есть система двух уравнений: 1) \( A + B = 20 \) 2) \( A^2 + B^2 = 100 \) Решив эту систему, мы находим значения A и B. После чего можно сложить их и удвоенное значение гипотенузы C, чтобы получить периметр треугольника \( P = A + B + C \). Так как решение системы может быть довольно трудоёмко, давай использовать следующее упрощение: заметим, что в прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, катеты являются средними пропорциональными между гипотенузой и проекциями катетов на гипотенузу. Это значит, что \( A = \sqrt{c \cdot p_{a}} \) и \( B = \sqrt{c \cdot p_{b}} \), где \( p_{a} \) и \( p_{b} \) - проекции катетов A и B соответственно. Из того, что радиус равен половине гипотенузы, следует, что проекции катетов равны радиусу, поэтому \( A = \sqrt{10 \cdot 5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) и \( B = \sqrt{10 \cdot 5} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \). Итак, катеты треугольника равны. Периметр прямоугольного треугольника будет равен \( P = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 10 = 10 + 10\sqrt{2} \).