представь функцию модуля y= |x-3| в виде кусочно-заданной функции

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Нам нужно представить функцию модуля \( y = |x - 3| \) в виде кусочно-заданной функции. Функция модуля определяется как:

\( y = |a| = \) { \( a, \quad если \, a \geq 0, \) \( -a, если \, a < 0. \) }

Применяем это к нашей функции:

Когда выражение внутри модуля, \( x - 3 \), неотрицательно (то есть, когда \( x \geq 3 \)), модуль "снимается", и функция остаётся без изменений:

\( y = x - 3, \quad если \, x \geq 3. \)

Когда выражение внутри модуля отрицательно (то есть, когда \( x < 3 \)), модуль изменяет знак этого выражения на противоположный:

\( y = -(x - 3) = 3 - x, \quad если \, x < 3. \)

Теперь давай посмотрим на предложенные варианты ответов. Нам нужно выбрать тот, который соответствует вышеизложенному:

1. \( y = \begin{cases} x - 3, \, если \, x \geq 3, \\ 3 - x, если \, x < 3. \end{cases} \)

2. \( y = \begin{cases} x - 3, \, если \, x \geq 3, \\ x - 3, если \, x < 3. \end{cases} \) (Неверно, во втором случае должно быть противоположное выражение.)

3. \( y = \begin{cases} x - 3, \, если \, x > 3, \\ x + 3, если \, x < 3. \end{cases} \) (Неверно, во втором случае должно быть \( 3 - x \), а также нарушается условие "меньше либо равно".)

4. \( y = \begin{cases} 3 - x, \, если \, x > 3, \\ x - 3, если \, x < 3. \end{cases} \) (Напутали с условиями и выражениями.)

Правильным вариантом будет первый:

\( y = \begin{cases} x - 3, \, если \, x \geq 3, \\ 3 - x, если \, x < 3. \end{cases} \)

Это и есть кусочно-заданная функция для \( y = |x - 3| \).