Привет! Давай разберемся вместе с этой задачей.
Тебе нужно найти наименьшее значение функции ( y = 4\sqrt{x} - 10x + 2 ). Для начала найдем производную функции, это поможет нам узнать стационарные точки, где функция может достигать экстремумов (минимума или максимума).
Производная функции ( y = 4\sqrt{x} - 10x + 2 ) равна ( y' = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{x}} - 10 ). После упрощения получаем ( y' = \frac{4}{\sqrt{x}} - 10 ).
Теперь надо решить уравнение ( y' = 0 ), чтобы найти критические точки.
( \frac{4}{\sqrt{x}} - 10 = 0 )
Отсюда получаем ( \sqrt{x} = \frac{4}{10} ), что дает ( x = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} ).
У нас есть критическая точка ( x = \frac{4}{25} ). Чтобы проверить, является ли она точкой минимума, нужно провести анализ знаков производной на интервалах вокруг этой точки или воспользоваться второй производной.
Поскольку функция ( y = 4\sqrt{x} - 10x + 2 ) определена и дифференцируема на всей положительной полуоси x и производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку ( x = \frac{4}{25} ), это точка минимума.
Теперь подставим ( x = \frac{4}{25} ) в исходную функцию, чтобы найти наименьшее значение функции:
( y_{min} = 4\sqrt{\frac{4}{25}} - 10 \cdot \frac{4}{25} + 2 )
( y_{min} = 4 \cdot \frac{2}{5} - \frac{40}{25} + 2 )
( y_{min} = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} + 2 )
( y_{min} = 2 )
Итак, наименьшее значение функции равно 2 при ( x = \frac{4}{25} ).
Надеюсь, мой разбор был понятен и поможет тебе в дальнейшем решении подобных задач! Если возникнут трудности, я всегда здесь, чтобы помочь.
