Найдите наименьшее значение функции

Привет! Давай разберемся вместе с этой задачей.

Тебе нужно найти наименьшее значение функции \( y = 4\sqrt{x} - 10x + 2 \). Для начала найдем производную функции, это поможет нам узнать стационарные точки, где функция может достигать экстремумов (минимума или максимума).

Производная функции \( y = 4\sqrt{x} - 10x + 2 \) равна \( y' = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{x}} - 10 \). После упрощения получаем \( y' = \frac{4}{\sqrt{x}} - 10 \).

Теперь надо решить уравнение \( y' = 0 \), чтобы найти критические точки.

\( \frac{4}{\sqrt{x}} - 10 = 0 \)

Отсюда получаем \( \sqrt{x} = \frac{4}{10} \), что дает \( x = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} \).

У нас есть критическая точка \( x = \frac{4}{25} \). Чтобы проверить, является ли она точкой минимума, нужно провести анализ знаков производной на интервалах вокруг этой точки или воспользоваться второй производной.

Поскольку функция \( y = 4\sqrt{x} - 10x + 2 \) определена и дифференцируема на всей положительной полуоси x и производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку \( x = \frac{4}{25} \), это точка минимума.

Теперь подставим \( x = \frac{4}{25} \) в исходную функцию, чтобы найти наименьшее значение функции:

\( y_{min} = 4\sqrt{\frac{4}{25}} - 10 \cdot \frac{4}{25} + 2 \)

\( y_{min} = 4 \cdot \frac{2}{5} - \frac{40}{25} + 2 \)

\( y_{min} = \frac{8}{5} - \frac{8}{5} + 2 \)

\( y_{min} = 2 \)

Итак, наименьшее значение функции равно 2 при \( x = \frac{4}{25} \).

Надеюсь, мой разбор был понятен и поможет тебе в дальнейшем решении подобных задач! Если возникнут трудности, я всегда здесь, чтобы помочь.