Кажется, ваш вопрос касается морфологических и синтаксических аспектов русского языка. В предложенном вами предложении слово "бы" является частью речи называется частицей. Частица "бы" обычно используется для выражения сослагательного наклонения, а также обозначения условия или желания. В данном случае, она употреблена с глаголом "занялся" для передачи условия или желания, что Антон хотел бы заниматься спортом.
Определенно, занятие спортом приносит множество пользы для здоровья и общего благополучия. Поэтому, можно сказать, что слово "бы" в данном контексте указывает на желательное действие или условие, которое Антон бы предпочел выполнить.