найти производную произведения и производную частного в 7 варианте

Привет! Давай разберемся с твоим заданием.

Тебе нужно найти производные для произведения и частного, представленные в варианте 7.

Сначала найдем производную для произведения из задания 11):

\[y = \left( -\frac{1}{6} \right)x^6 \cdot (2x + 6)\]

Для этого применяем правило дифференцирования произведения функций \( uv \), где \( u \) и \( v \) - дифференцируемые функции:

\[(uv)' = u'v + uv'\]

Пусть \( u = \left(-\frac{1}{6}\right)x^6 \), тогда \( u' = \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot 6x^5 = -x^5 \).

Теперь возьмем \( v = 2x + 6 \), следовательно, \( v' = 2 \).

Тогда, \( (uv)' = u'v + uv' = (-x^5)(2x + 6) + \left(-\frac{1}{6}\right)x^6 \cdot 2 \).

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

\[-x^5 \cdot 2x - x^5 \cdot 6 - \frac{1}{3}x^6 = -2x^6 - 6x^5 - \frac{1}{3}x^6\]

\[= -\frac{2}{3}x^6 - 6x^5\]

Далее найдем производную для частного из задания 13):

\[y = \frac{7x}{\tan x}\]

Применяем правило дифференцирования частного \( \frac{u}{v} \):

\[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

Здесь \( u = 7x \), т.е. \( u' = 7 \), и \( v = \tan x \), для которого \( v' = \sec^2 x \) (секанс в квадрате).

Теперь подставляем и находим производную:

\[\left(\frac{7x}{\tan x}\right)' = \frac{7 \cdot \tan x - 7x \cdot \sec^2 x}{\tan^2 x}\]

После упрощения получим результат:

\[\frac{7 \cdot \tan x}{\tan^2 x} - \frac{7x \cdot \sec^2 x}{\tan^2 x}\]

Это и будет конечный ответ для производной частного.

Надеюсь, что это поможет тебе с заданием! Если есть вопросы по шагам или тебе нужна помощь с другими номерами, пиши!