AB и BC- отрезки касательных , проведенных из точки B, к окружности с центром O. OB=10,AO=5. Чему равен угол AOC? 1)120° 2)60° 3)45° 4)90°

Для решения задачи, построим треугольник OAB. Так как AB и BC - касательные, то уголы OAB и ABC прямые (потому что касательная перпендикулярна радиусу в точке касания), значит, угол ACB также прямой.

Теперь, по теореме косинусов в треугольнике AOC:

AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2 * AO * OC * cos(AOC).

Подставляем данные:

AC^2 = 5^2 + OC^2 - 2 * 5 * OC * cos(AOC).

Теперь рассмотрим треугольник OBC. Мы знаем, что OB = 10, OC - ? и угол OBC = 90°.

По теореме Пифагора:

OC^2 = OB^2 - BC^2.

Подставляем данные:

OC^2 = 10^2 - BC^2, OC^2 = 100 - BC^2.

Так как AB и BC - касательные из точки B, то угол ABC прямой. Значит, треугольник ABC - равнобедренный (AB = BC). Из этого следует, что BC = AB = 5.

Подставляем это значение:

OC^2 = 100 - 5^2, OC^2 = 100 - 25, OC^2 = 75, OC = √75, OC = 5√3.

Теперь заменяем OC в первом уравнении:

AC^2 = 5^2 + (5√3)^2 - 2 * 5 * 5√3 * cos(AOC), AC^2 = 25 + 75 - 50√3 * cos(AOC), AC^2 = 100 - 50√3 * cos(AOC).

Обратите внимание, что AC = 10 (так как это сторона треугольника OBC).

Теперь подставляем AC и решаем уравнение:

100 = 100 - 50√3 * cos(AOC), 0 = -50√3 * cos(AOC), cos(AOC) = 0, AOC = 90°.

Итак, угол AOC равен 90° (4).