Задание 2

Хорошо, давай рассмотрим задание вместе. Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где \( AK \) — высота, опущенная из вершины прямого угла A на гипотенузу \( BC \). Точка \( K \) делит гипотенузу \( BC \) на два отрезка \( BK \) и \( KC \), длины которых нам известны: \( BK = 6 \) см и \( KC = 24 \) см. Нам нужно найти длину высоты \( AK \). Раз треугольник \( ABC \) прямоугольный, то высота \( AK \), опущенная на гипотенузу, делит его на два треугольника, которые подобны друг другу и исходному треугольнику \( ABC \). Это помогает нам, потому что подобные треугольники имеют пропорциональные соответствующие стороны. Обозначим \( AB = x \), тогда \( AC = BC - x = 24 + 6 - x = 30 - x \). Так как треугольники \( ABK \) и \( ABC \) подобны, то их стороны пропорциональны. Составим пропорцию, используя отношение сторон подобных треугольников: \( \frac{AB}{BK} = \frac{BC}{AB} \) \( \frac{x}{6} = \frac{30}{x} \) Решим это уравнение, чтобы найти длину стороны \( AB \) (или \( x \)), умножив обе части уравнения крест-накрест: \( x^2 = 30 \cdot 6 \) \( x^2 = 180 \) \( x = \sqrt{180} \) \( x = 6\sqrt{5} \) см А теперь, зная \( x \), мы можем найти \( AK \) из подобия треугольников \( ABK \) и \( ABC \) аналогичным образом: \( \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{BC} \) \( \frac{AK}{6\sqrt{5}} = \frac{6}{30} \) \( AK = 6\sqrt{5} \cdot \frac{6}{30} \) \( AK = \sqrt{5} \cdot 6 \cdot \frac{1}{5} \) \( AK = 6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \) \( AK = \frac{6\sqrt{5}}{5} \) см Таким образом, длина высоты \( AK \) составляет \( \frac{6\sqrt{5}}{5} \) см.