Хорошо, давай рассмотрим задание вместе. Мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где ( AK ) — высота, опущенная из вершины прямого угла A на гипотенузу ( BC ). Точка ( K ) делит гипотенузу ( BC ) на два отрезка ( BK ) и ( KC ), длины которых нам известны: ( BK = 6 ) см и ( KC = 24 ) см. Нам нужно найти длину высоты ( AK ).
Раз треугольник ( ABC ) прямоугольный, то высота ( AK ), опущенная на гипотенузу, делит его на два треугольника, которые подобны друг другу и исходному треугольнику ( ABC ). Это помогает нам, потому что подобные треугольники имеют пропорциональные соответствующие стороны.
Обозначим ( AB = x ), тогда ( AC = BC - x = 24 + 6 - x = 30 - x ).
Так как треугольники ( ABK ) и ( ABC ) подобны, то их стороны пропорциональны. Составим пропорцию, используя отношение сторон подобных треугольников:
( \frac{AB}{BK} = \frac{BC}{AB} )
( \frac{x}{6} = \frac{30}{x} )
Решим это уравнение, чтобы найти длину стороны ( AB ) (или ( x )), умножив обе части уравнения крест-накрест:
( x^2 = 30 \cdot 6 )
( x^2 = 180 )
( x = \sqrt{180} )
( x = 6\sqrt{5} ) см
А теперь, зная ( x ), мы можем найти ( AK ) из подобия треугольников ( ABK ) и ( ABC ) аналогичным образом:
( \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{BC} )
( \frac{AK}{6\sqrt{5}} = \frac{6}{30} )
( AK = 6\sqrt{5} \cdot \frac{6}{30} )
( AK = \sqrt{5} \cdot 6 \cdot \frac{1}{5} )
( AK = 6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} )
( AK = \frac{6\sqrt{5}}{5} ) см
Таким образом, длина высоты ( AK ) составляет ( \frac{6\sqrt{5}}{5} ) см.
