Задание 7

Привет! Давай разберём твоё задание.

Тебе нужно найти значение косинуса угла \( \alpha \), если известно, что \( \sin \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7} \) и что угол \( \alpha \) расположен в III четверти координатной плоскости.

В третьей четверти и синус, и косинус угла принимают отрицательные значения. Так как синус угла в третьей четверти отрицателен, мы это и видим из заданного условия.

Мы знаем тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), которое справедливо для любого угла. Из этого тождества можно выразить косинус следующим образом:

\( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).

Теперь подставим значение синуса:

\( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9 \cdot 5}{49} = 1 - \frac{45}{49} = \frac{49}{49} - \frac{45}{49} = \frac{4}{49} \).

Затем из \( \cos^2 \alpha \) извлекаем квадратный корень, при этом помня, что в третьей четверти косинус отрицателен:

\( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{4}{49}} = -\frac{2}{7} \).

Вот и всё, \( \cos \alpha = -\frac{2}{7} \). Не забудь, что ответ нужно записать в виде обыкновенной дроби. Удачи!