...

Привет! Давай попробуем вместе разобраться с задачей.

В условии дан прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( \angle A \), и нам нужно найти \( \cos^2 \angle B \).

Известно, что \( \cos \angle B = \frac{a}{\sin \angle B} \), где \( a \) – длина прилежащего катета к углу \( \angle B \), а \( \sin \angle B \) – синус угла \( \angle B \). По задаче дано, что \( \frac{a}{\sin \angle B} = \frac{2\sqrt{2}}{10\sqrt{10}} \).

Чтобы найти \( \cos^2 \angle B \), нужно возвести в квадрат значение \( \cos \angle B \). То есть, \( \left( \frac{2\sqrt{2}}{10\sqrt{10}} \right)^2 \).

Выполним возведение в квадрат дроби: \[ \left( \frac{2\sqrt{2}}{10\sqrt{10}} \right)^2 = \frac{4 \cdot 2}{100 \cdot 10} = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125}. \]

Таким образом, \( \cos^2 \angle B = \frac{1}{125} \).

Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно, спрашивай.