Привет! Давай вместе разберемся с этой задачей.
У нас есть уравнение ( \text{ctg}^2 x = 1 ).
Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, что ( \text{ctg}^2 x ) это тоже самое, что и ( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} ). Тогда наше уравнение превратится в следующее:
( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = 1 )
Перемножим обе части на ( \sin^2 x ), чтобы избавиться от дроби:
( \cos^2 x = \sin^2 x )
Теперь вспомним основное тригонометрическое тождество: ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ). Отсюда, ( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x ). Подставим это выражение в наше уравнение:
( 1 - \sin^2 x = \sin^2 x )
Перенесем все слагаемые в одну сторону:
( 2\sin^2 x = 1 )
Разделим обе части на 2:
( \sin^2 x = \frac{1}{2} )
Теперь возьмем квадратный корень из обеих частей уравнения (помним, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным):
( \sin x = \sqrt{\frac{1}{2}} ) или ( \sin x = -\sqrt{\frac{1}{2}} )
Но поскольку в условии сказано взять наименьший положительный корень, мы рассматриваем только положительное значение.
( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} )
Значение ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) достигается для углов ( \frac{\pi}{4} ) и ( \frac{3\pi}{4} ) (45 и 135 градусов соответственно). Но так как cotangent положителен в первой и третьей четвертях, то нам нужен угол из первой четверти, то есть ( \frac{\pi}{4} ).
Этот угол в радианах и есть наш ответ, но в задаче сказано умножить его на ( \frac{16}{\pi} ), получаем:
( x = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{16}{\pi} = 4 )
Таким образом, ответ будет ( 4 ).
