65. Транеция ABCD с основаниями AD n BС опи- сана около окружности, AB=10. BC =16. CD=12. Найдите AD. 66. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC опи- саин около окружности, AB-13, BC=14, CD=11. B 65. Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС опи- сана около окружности, AB=10, BC=16, CD=12. Найдите AD. 66. Трапеция ABCD с основаниями AD и ВС опи- сана около окружности, AB=13, BC=14, CD=11. Найдите AD. 71. Периметр треугольника равен 48, одна из сто- рон равна 18, а радиус вписанной в него окружно- сти равен 3. Найдите площадь этого треугольника. 72. Периметр треугольника равен 56, одна из сто- рон равна 19, а радиус вписанной в него окружно- сти равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

Для решения задачи 65, в первую очередь мы замечаем, что в трапеции ABCD основания AD и BC являются диаметрами окружности, описанной вокруг трапеции. Это значит, что вершины A, B, C и D лежат на окружности. Также, если мы проведем диаметр AC, он будет параллелен стороне BD (по свойству трапеции). Теперь обратим внимание на связь между длинами отрезков в данной задаче. Мы имеем AB = 10, BC = 16, CD = 12. Следовательно, AC = AB + BC = 10 + 16 = 26. Так как AC - диаметр окружности, то AD является радиусом этой окружности. По свойствам окружности, радиус, проведенный к касательной, будет ей перпендикулярен. Следовательно, треугольник ADO (где O - центр окружности) является прямоугольным. Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения AD. Так как AD - радиус окружности, а AO = AC / 2 = 26 / 2 = 13, то мы имеем: AD^2 + AO^2 = OD^2 AD^2 + 13^2 = CD^2 AD^2 + 169 = 144 AD^2 = 144 - 169 AD^2 = 25 AD = 5 Таким образом, длина AD равна 5. Для задачи 71, мы знаем, что периметр треугольника равен 48 и одна из его сторон равна 18. По определению периметра периметр = a + b + c, где a, b и c - стороны треугольника. Известно, что радиус вписанной в треугольник окружности равен 3. По определению, радиус вписанной окружности связан с полупериметром треугольника следующим образом: r = p - a, где r - радиус, p - полупериметр, a - длина одной из сторон. Так как одна из сторон равна 18 и радиус равен 3, мы можем найти полупериметр: p = 48 / 2 = 24. Затем находим длины оставшихся двух сторон, используя полупериметр и заданную сторону: b = p - 18 - r = 24 - 18 - 3 = 3 c = p - 18 - r = 24 - 18 - 3 = 3 Теперь, имея все три стороны треугольника (18, 3, 3), мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника: S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) Подставляем известные значения: S = sqrt(24 * 6 * 3 * 3) = sqrt(1296) = 36 Таким образом, площадь треугольника равна 36.