Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 6 , 2 см и 9 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 6 см и 9 см, считая от основания. Чтобы найти периметр этого треугольника, обозначим радиус вписанной окружности как r, длину основания треугольника как a, а высоту треугольника, проведенную из вершины до основания, как h. Из свойств вписанной окружности в равнобедренном треугольнике мы знаем, что точка касания делит боковую сторону на два отрезка, равные сумме и разности между этой стороной и полусуммой основания треугольника a и отрезков, полученных разделением основания на 2 части: 6 + 9 = a + 2r (1) Также, так как треугольник равнобедренный, известно, что высота h, проведенная из вершины, делит основание на два равных отрезка и вписанная окружность касается стороны треугольника в точке, делящей сторону на отрезки длины r h^2 + r^2 = (a/2)^2 (2) Теперь, для выражения периметра треугольника через известные значения, он равняется сумме длин всех сторон: P = a + a + 2r = 2a + 2r Из уравнения (1) можем найти a: a = 15 - 2r Подставив это обратно в формулу для периметра, получаем: P = 2(15 - 2r) + 2r P = 30 - 4r + 2r P = 30 - 2r Таким образом, периметр равнобедренного треугольника, описанного в вопросе, равен 30 - 2r, где r - радиус вписанной окружности.