Р

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

Исходные данные: \( tg\alpha = \frac{7}{24} \) и \( sin\beta = -\frac{4}{5} \), при этом углы \(\alpha\) и \(\beta\) находятся в следующих интервалах: \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \), \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \).

Нам нужно найти:

1. \(sin2\beta\)
2. \(cos2\alpha\)
3. \(sin(\alpha + \beta)\)
4. \(cos(\alpha - \beta)\)

Давай поступим по шагам.

Шаг 1: Найдём \(cos\alpha\)

Используем основное тригонометрическое тождество: \( cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1 \). Поскольку \( tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} \), мы можем выразить \( sin\alpha \) через \( tg\alpha \) и \( cos\alpha \):

\( sin\alpha = tg\alpha \cdot cos\alpha \).

Теперь подставляем \( tg\alpha = \frac{7}{24} \):

\( cos^2\alpha + \left(\frac{7}{24}\right)^2\cdot cos^2\alpha = 1 \), \( cos^2\alpha\left(1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2\right) = 1 \), \( cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \left(\frac{7}{24}\right)^2} \), \( cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} \), \( cos^2\alpha = \frac{576}{576 + 49} \), \( cos^2\alpha = \frac{576}{625} \), \( cos\alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} \), \( cos\alpha = \frac{24}{25} \).

Поскольку \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), \(cos\alpha > 0\), так что берём положительный корень.

Шаг 2: Найдём \(sin2\beta\) и \(cos2\alpha\)

Для двойного угла, у нас есть формулы: \( sin2\beta = 2sin\beta \cdot cos\beta \), \( cos2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha \).

Мы уже знаем \(sin\beta\), нужно найти \(cos\beta\):

\( cos^2\beta + sin^2\beta = 1 \), \( cos^2\beta + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \), \( cos^2\beta + \frac{16}{25} = 1 \), \( cos^2\beta = \frac{9}{25} \), \( cos\beta = -\frac{3}{5} \) (потому что \(\beta\) во второй четверти, где косинус отрицательный).

Теперь подставляем значения в формулы двойного угла:

\( sin2\beta = 2\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{24}{25} \).

\( cos2\alpha = \left(\frac{24}{25}\right)^2 - \left(\frac{7}{24}\right)^2 \), \( cos2\alpha = \frac{576}{625} - \frac{49}{576} \), \( cos2\alpha = \frac{576 \cdot 576}{625 \cdot 576} - \frac{49 \cdot 625}{625 \cdot 576} \), \( cos2\alpha = \frac{331776}{360000} - \frac{30625}{360000} \), \( cos2\alpha = \frac{301151}{360000} \), \( cos2\alpha = \frac{1079}{1296} \).

Шаг 3: Найдём \(sin(\alpha + \beta)\) и \(cos(\alpha - \beta)\)

Используем формулы суммы и разности: \( sin(\alpha + \beta) = sin\alpha \cdot cos\beta + cos\alpha \cdot sin\beta \), \( cos(\alpha - \beta) = cos\alpha \cdot cos\beta + sin\alpha \cdot sin\beta \).

\( sin\alpha = tg\alpha \cdot cos\alpha = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25} \).

Теперь подставляем значения: \( sin(\alpha + \beta) = \frac{7}{25}\cdot\left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{24}{25}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{21}{125} - \frac{96}{125} = -\frac{117}{125} \).

\( cos(\alpha - \beta) = \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{7}{25}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{72}{125} - \frac{28}{125} = -\frac{100}{125} = -\frac{4}{5} \).

Вот и все решения для каждого из пунктов. Если что-то непонятно или нужна дополнительная помощь, спрашивай!