Integrate (1/(x ^ 3) - 4x + 8) dx from 0 to 2

Вычислим данное определенное интеграл: ∫[0,2] (1/(x^3) - 4x + 8) dx.

Для нахождения интеграла разобьем его на три части:

1. Интеграл от 1/(x^3) dx:

∫(1/(x^3)) dx = -1/(2x^2) + C1,

где C1 - произвольная постоянная.

2. Интеграл от -4x dx:

∫(-4x) dx = -2x^2 + C2,

где C2 - произвольная постоянная.

3. Интеграл от 8 dx:

∫8 dx = 8x + C3,

где C3 - произвольная постоянная.

Теперь найдем значения интегралов на границах:

1. ∫[0,2] (1/(x^3)) dx = [-1/(2x^2)] от 0 до 2 = (-1/(22^2)) - (-1/(20^2)) = -1/8.

2. ∫[0,2] (-4x) dx = [-2x^2] от 0 до 2 = (-22^2) - (-20^2) = -8.

3. ∫[0,2] 8 dx = [8x] от 0 до 2 = 82 - 80 = 16.

Теперь сложим значения интегралов на границах:

(-1/8) + (-8) + 16 = -1/8 - 8 + 16 = -1/8 + 128/8 + 128/8 = 127/8.

Таким образом, искомый интеграл равен 127/8.