7. Обчисліть площу графіком фігури, функції та дотичною до цього обмеженої y = 1/2 * x ^ 2 + 1 графіка в точці з абсцисою x = 2 та прямою x = 0

Для обчислення площі, що обмежена графіком функції та дотичною до неї, спочатку потрібно визначити точку дотику.

Для функції y = 1/2 * x ^ 2 + 1, використовуючи похідну, ми можемо знайти нахил (похідну) в точці x = 2. Дотична буде мати такий же нахил у даній точці.

Похідна цієї функції є y' = x. Вставимо значення x = 2 до похідної, отримаємо нахил дотичної: y' = 2.

Таким чином, дотична матиме рівняння y = 2x + b, де b - невідома константа.

Оскільки дотична проходить через точку (2, y), підставимо значення x = 2 та y = 1/2 * 2 ^ 2 + 1 у рівняння дотичної.

Отримаємо: 1/2 * 2 ^ 2 + 1 = 2 * 2 + b ⇒ 2 + 1 = 4 + b ⇒ 3 = 4 + b ⇒ b = -1.

Отже, рівняння дотичної - y = 2x - 1.

Тепер, щоб обчислити площу фігури, обмеженої графіком функції та дотичною, треба знайти дві точки перетину цих ліній.

Для цього прирівняємо функцію і дотичну:

1/2 * x ^ 2 + 1 = 2x - 1.

Розв'язуємо це рівняння:

1/2 * x ^ 2 - 2x + 2 = 0.

Оскільки це квадратне рівняння, ми можемо використати дискримінант, щоб знайти значення x.

Дискримінант D = (-2) ^ 2 - 4 * (1/2) *2 = 4 - 4 = 0.

Отримали D = 0, це означає, що у нас є один корінь. Використовуючи формулу коренів, отримаємо:

x = -(-2) / (2 * (1/2)) = 2.

Отже, точка перетину - (2, y).

Підставимо x = 2 до рівняння дотичної:

y = 2 * 2 - 1 = 3.

Таким чином, точка перетину - (2, 3).

Тепер за допомогою геометричного підходу ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої функцією та дотичною.

Фігура між цими двома лініями - паралелограмм. Висота паралелограму - відстань між основами. Основи рівні відрізкам між 0, 2 та (2, 3).

Відстань між (0, 0) та (2, 3) можна обчислити за допомогою теореми Піфагора:

d = √((2 - 0) ^ 2 + (3 - 0) ^ 2) = √(2 ^ 2 + 3 ^ 2) = √(4 + 9) = √13.

Тому висота паралелограму дорівнює √13.

Основа паралелограму - відрізок між 0 та 2, його довжина 2.

Таким чином, площа фігури:

S = основа * висота = 2 * √13 = 2√13.

Отже, площа графіком фігури, функції та дотичною дорівнює 2√13.