Докажите что два остро треугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Для доказательства равенства двух остроугольных треугольников, у которых сторона одного треугольника равна стороне другого, а высота, проведенная из этой стороны, также равна высоте из этой стороны другого треугольника, мы можем воспользоваться свойствами подобных треугольников. Давайте обозначим данные треугольники как △ABC и △A'B'C', где AB = A'B', h = h', и ∠BAC = ∠B'A'C'. Поскольку стороны треугольников равны (AB = A'B'), а высоты проведены из концов этих сторон тоже равны (h = h'), то у нас есть соответствие сторон и высот в обоих треугольниках. Теперь, если мы докажем, что углы при вершине A равны (∠BAC = ∠B'A'C'), то по критерию подобия треугольников (СТС) мы докажем их равенство. Мы знаем, что угол при вершине треугольника равен смежному вертикальному углу с высотой. Таким образом, ∠BAC = ∠A'B'C', и по условию равенства высот, углы при вершине остроугольных треугольников равны. Следовательно, треугольники △ABC и △A'B'C' равны. Таким образом, доказано, что два остроугольных треугольника равны при условии равенства сторон и высот, проведенных из концов этих сторон.