1. На рисунке 11 АВ = ВС, АК = КС, AKE = РКС. Докажите, что ∆ АКЕ = ∆ КРС.

Доказательство данной теоремы можно выполнить с помощью двух параллельных отрезков.

Дано: На рисунке 11 отмечены отрезки АВ, ВС, АК, КС, а также угол АКЕ = углу РКС. Из рисунка видно, что отрезок АВ параллелен отрезку КС (по условию АВ = ВС, значение углов не приводят к пересечению отрезков). Также на рисунке видно, что отрезок АК параллелен отрезку KS (по условию АК = КС, значение углов не приводят к пересечению отрезков).

Теперь докажем, что треугольники АКЕ и КРС равны:

1. У этих треугольников две стороны и угол между ними равны (по условию АК = КС и угол АКЕ = углу РКС).
2. У этих треугольников третья сторона АЕ и РС соответственно равны (по условию AB = ВС и параллельности отрезков АВ и КС, а также АК и КS).

Таким образом, треугольники АКЕ и КРС равны по теореме об одинаковых двух сторонах (условиям равенства двух сторон, прилегающих к одному и тому же углу). Доказано.