Найдите f’(3), если f(х) = (4-x^2)умножить на корень квадратный из x^2-5

Для нахождения производной функции \(f(x)\) в точке \(x = 3\) (\(f'(3)\) ) нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции \(f(x)\).
2. Подставим \(x = 3\) в полученное выражение.

Так как \(f(x) = (4 - x^2) \cdot \sqrt{x^2 - 5}\), найдем первую производную \(f'(x)\) сначала по каждому множителю по отдельности, а затем используем правило дифференцирования произведения:

\(f'(x) = (4 - x^2)' \cdot \sqrt{x^2 - 5} + (4 - x^2) \cdot (\sqrt{x^2 - 5})'\)

\(f'(x) = -2x \cdot \sqrt{x^2 - 5} + (4 - x^2) \cdot 0.5 \cdot (x^2 - 5)^{-0.5} \cdot 2x\)

\(f'(x) = -2x \cdot \sqrt{x^2 - 5} - x \cdot (4 - x^2) \cdot (x^2 - 5)^{-0.5}\)

Теперь подставим \(x = 3\) в полученное выражение:

\(f'(3) = -2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 - 5} - 3 \cdot (4 - 3^2) \cdot (3^2 - 5)^{-0.5}\)

\(f'(3) = -6 \cdot \sqrt{9 - 5} - 3 \cdot (4 - 9) \cdot (9 - 5)^{-0.5}\)

\(f'(3) = -6 \cdot \sqrt{4} - 3 \cdot (-5) \cdot 4^{-0.5}\)

\(f'(3) = -6 \cdot 2 - 3 \cdot (-5) \cdot 0.5\)

\(f'(3) = -12 + 7.5\)

\(f'(3) = -4.5\)

Итак, \(f'(3) = -4.5\).