№ 1. Даны точки A (3; –2), B (–3; 2) и C (–1; 0). Найдите: 1) координаты векторов BA и BC; 2) модули векторов BA и BC; 3) координаты вектора MP = 4BA – BC; 4) скалярное…
№ 1. Даны точки A (3; –2), B (–3; 2) и C (–1; 0). Найдите: 1) координаты векторов BA и BC; 2) модули векторов BA и BC; 3) координаты вектора MP = 4BA – BC; 4) скалярное произведение векторов BA и BC; 5) косинус угла между векторами BA и BC. № 2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:1) AC + CB; 2) BA – BC; 3) AC + AB. № 3. Даны векторы m (2; p) и n (4; 14). При каком значении p векторы m и n: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? № 4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 4, BK : KC = 2 : 3. Выразите вектор MK через векторы DA = а и DC = b. № 5. Найдите косинус угла между векторами b = 6m – n и c = m + 3n, если m ⊥ n и |m| = |n| = 1
1.
Координаты вектора BA: BA = B - A = (-3 - 3; 2 - (-2)) = (-6; 4) Координаты вектора BC: BC = B - C = (-3 - (-1); 2 - 0) = (-2; 2)
Модуль вектора BA: |BA| = √((-6)^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52 Модуль вектора BC: |BC| = √((-2)^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8
Координаты вектора MP = 4BA - BC: MP = 4(-6; 4) - (-2; 2) = (-24 + 2; 16 - 2) = (-22; 14)
Скалярное произведение векторов BA и BC: BA * BC = (-6 * -2) + (4 * 2) = 12 + 8 = 20
Косинус угла между векторами BA и BC: cos(θ) = (BA * BC) / (|BA| * |BC|) = 20 / (√52 * √8) = 20 / √(52 * 8)
2.
- Рисуем треугольник ABC с заданными точками.
AC + CB: AC = C - A = (-1 - 3; 0 - (-2)) = (-4; 2) CB = B - C = (-3 - (-1); 2 - 0) = (-2; 2) AC + CB = (-4; 2) + (-2; 2) = (-6; 4)
BA - BC: BA уже найден в №1, а BC это (-2; 2) BA - BC = (-6; 4) - (-2; 2) = (-4; 2)
AC + AB: AB = B - A = (-3 - 3; 2 - (-2)) = (-6; 4) AC + AB = (-4; 2) + (-6; 4) = (-10; 6)
3.
Для коллинеарности векторов m и n необходимо, чтобы один был кратен другому. То есть, (2/p) = (4/14). Решив уравнение, найдем p.
Для перпендикулярности векторов m и n их скалярное произведение должно равняться нулю: (2 * 4) + (p * 14) = 0 Решив уравнение, найдем p.
4. Вектор MK выражается через векторы DA и DC следующим образом: MK = MA + AK = MA + DC = MA + (AC - AD)
5. Для нахождения косинуса угла между векторами b и c, используем формулу: cos(θ) = (b * c) / (|b| * |c|)
Удачи в изучении математики!
