Найдите вероятность того, что при рассадке случайным образом за круглым столом группы, состоящей из 7 девочек и 2 мальчиков, мальчики не будут сидеть рядом. Ответ запишите в виде десятичной дроби, отделяя целую часть от дробной запятой.

Для решения этой задачи о найдем сначала общее количество способов рассадить 7 девочек и 2 мальчиков за круглым столом. Это можно сделать по формуле \( (n-1)! \), где \( n \) - количество человек. Таким образом, для нашей задачи общее количество способов рассадить 9 человек равно \( (9-1)! = 8! \).

Теперь давайте найдем количество способов, при которых мальчики сидят рядом. Для этого мы можем считать двух мальчиков как один блок. Тогда у нас будет 8 объектов: 6 девочек, 1 блок из 2 мальчиков и 1 оставшийся мальчик. Эти объекты можно рассадить \( 8! \) способами. Однако внутри блока с мальчиками они могут поменяться местами друг с другом \( 2! \) способами. Получается, что сидящие рядом мальчики можно разместить \( 8! \times 2! \) способами.

Итак, чтобы найти вероятность того, что мальчики не сидят рядом, мы вычитаем количество способов, при которых они сидят рядом, из общего числа способов.

$$ Вероятность = \frac{Общее\ количество\ способов - Количество\ способов\ сидения\ мальчиков\ рядом}{Общее\ количество\ способов} $$

$$ = \frac{8! - 8! \times 2!}{8!} $$

$$ = 1 - \frac{2!}{7!} $$

$$ = 1 - \frac{2}{7 \times 6} $$

$$ = 1 - \frac{1}{21} $$

$$ = \frac{20}{21} $$

Таким образом, вероятность того, что при рассадке случайным образом за круглым столом группы, состоящей из 7 девочек и 2 мальчиков, мальчики не будут сидеть рядом, равна \( \frac{20}{21} \).