Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) AC = 12см, ВС=16см; б) АС= 20 см, ∠B=30°.

Для решения задачи нам необходимо использовать свойство описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника.

a) При условии, что AC = 12 см и BC = 16 см, мы знаем, что радиус окружности равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника. Гипотенуза прямоугольного треугольника ABC равна √(AC^2 + BC^2) по теореме Пифагора. Итак, радиус окружности равен половине гипотенузы, то есть r = (AC^2 + BC^2)^(1/2) / 2.

Подставляем значения AC = 12 см и BC = 16 см в формулу: r = (√(12^2 + 16^2))/2 = (√(144 + 256))/2 = √400/2 = 20/2 = 10 см.

b) При условии, что AC = 20 см и угол B = 30 градусов, мы можем воспользоваться соотношением описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника. Так как угол B равен 30 градусов, угол C будет равен 60 градусов. Таким образом, треугольник ABC является равносторонним.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен половине стороны треугольника. Следовательно, r = AC/2 = 20 / 2 = 10 см.

Таким образом, радиус описанной окружности в обоих случаях равен 10 см.