Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом В описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АВ = 12см, ВС=5см; б) ВС= 24 см, ∠A=30°.

Question 1

Задача Задача №1106849

А

Аноним

17 мая 2024 00:23 · публичный вопрос

А

Аноним 17 мая 2024 00:23

Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом В описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АВ = 12см, ВС=5см; б) ВС= 24 см, ∠A=30°.

Answer

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство описанной окружности в прямоугольных треугольниках.

а) Для случая, когда длины катетов равны 12 см и 5 см, мы можем воспользоваться тем, что радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Таким образом, радиус окружности будет равен половине гипотенузы треугольника. Мы можем найти гипотенузу, используя теорему Пифагора: \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).

Подставив значения AB и BC, получаем: \(12^2 + 5^2 = AC^2\), \(144 + 25 = AC^2\), \(169 = AC^2\), \(AC = 13\).

Тогда радиус окружности будет равен половине гипотенузы, то есть \(r = \frac{AC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\) см.

б) Для случая, когда ВС равно 24 см и угол A равен 30 градусам, мы можем использовать тот факт, что радиус описанной окружности равен половине продолжения катета к вершине, образуемому смежным катетом. Таким образом, для нахождения радиуса, нам нужно определить длину продолжения катета, которое будет равно \(BC' = BC \cdot \tan(30^\circ)\). \(BC' = 24 \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\) см.

Теперь радиус окружности будет равен половине этого продолжения, то есть \(r = \frac{BC'}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) см.

Таким образом, радиус описанной окружности для случаев (a) и (б) равен 6.5 см и \(4\sqrt{3}\) см соответственно.

Question 2

Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом В описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) АВ = 12см, ВС=5см; б) ВС= 24 см, ∠A=30°.

Answer

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство описанной окружности в прямоугольных треугольниках. а) Для случая, когда длины катетов равны 12 см и 5 см, мы можем воспользоваться тем, что радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Таким образом, радиус окружности будет равен половине гипотенузы треугольника. Мы можем найти гипотенузу, используя теорему Пифагора: \(AB^2 + BC^2 = AC^2\). Подставив значения AB и BC, получаем: \(12^2 + 5^2 = AC^2\), \(144 + 25 = AC^2\), \(169 = AC^2\), \(AC = 13\). Тогда радиус окружности будет равен половине гипотенузы, то есть \(r = \frac{AC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\) см. б) Для случая, когда ВС равно 24 см и угол A равен 30 градусам, мы можем использовать тот факт, что радиус описанной окружности равен половине продолжения катета к вершине, образуемому смежным катетом. Таким образом, для нахождения радиуса, нам нужно определить длину продолжения катета, которое будет равно \(BC' = BC \cdot \tan(30^\circ)\). \(BC' = 24 \cdot \tan(30^\circ) = 24 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\) см. Теперь радиус окружности будет равен половине этого продолжения, то есть \(r = \frac{BC'}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\) см. Таким образом, радиус описанной окружности для случаев (a) и (б) равен 6.5 см и \(4\sqrt{3}\) см соответственно.