.

Привет! Давай вместе разберемся с этим уравнением.

Данное уравнение выглядит так:

\[ \frac{\text{tg}(8x) - \text{tg}(3x)}{1 + \text{tg}(8x) \cdot \text{tg}(3x)} = 1 \]

Это уравнение напоминает формулу разности тангенсов для тангенса суммы двух углов. Воспользуемся этой формулой и запишем, что у нас в числителе разность, а в знамениателе сумма.

Такое уравнение можно решить, если приравнять аргумент в \(\text{tg}(8x - 3x)\), так как в числителе и знаменателе у нас будет разность:

\[ \text{tg}(8x - 3x) = \text{tg}(5x) = 1 \]

Теперь, вспоминая, что тангенс равен 1 при углах \(\frac{\pi}{4} + n\pi\), где \(n\) - целое число, наше уравнение приобретает вид:

\[ 5x = \frac{\pi}{4} + n\pi \]

Разделив обе стороны на 5, получаем:

\[ x = \frac{\pi}{4\cdot5} + \frac{n\pi}{5} = \frac{\pi}{20} + \frac{n\pi}{5} \]

Таким образом, все корни этого уравнения:

\[ x = \frac{\pi}{20} + \frac{n\pi}{5}, \text{ где } n \text{ - целое число.} \]

Вот и всё! Если ещё будут вопросы, не стесняйся спрашивать!