Дано:х=3t^2+2 см., у=-14t см., t1=0,5 с. Аналитический найти величины касательно го и нормального ускорение точки М, а также радиус кривизны траектории р в данной точке

Для начала определим скорость точки М по известным уравнениям х и у. Скорость \(v\) находится по производным точек \(х\) и \(y\) по времени \(t\): \[v = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}\] Посчитаем производные: \[\frac{{dx}}{{dt}} = 6t\] и \[\frac{{dy}}{{dt}} = -14\] Таким образом, скорость точки М: \[v = \sqrt{(6t)^2 + (-14)^2} = \sqrt{36t^2 + 196}\]

Касательное ускорение \(a_t\) находится по производной скорости \(v\) по времени: \[a_t = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}\left(\sqrt{36t^2 + 196}\right)\] \[a_t = \frac{{36t}}{{\sqrt{36t^2 + 196}}}\]

Нормальное ускорение \(a_n\) находится по формуле: \[a_n = \frac{{v^2}}{r}\] где радиус кривизны \(r\) определяется как: \[r = \frac{{v^3}}{{(\frac{{dx}}{{dt}})(\frac{{d^2x}}{{dt^2}}) + (\frac{{dy}}{{dt}})(\frac{{d^2y}}{{dt^2}})}\]

Далее, рассчитываем касательное и нормальное ускорения в точке \(t = t_1 = 0.5 с\) и радиус кривизны \(r\) в данной точке.