В каждой клетке доски 5×5 сидит по жуку. В некоторый момент времени все жуки переползают по диагонали в соседнюю по углу клетку. Докажите, что хотя бы на одной клетке не будет ни одного жука.

Давайте докажем данное утверждение. Предположим, что на каждой клетке доски 5×5 после переползания по диагонали все жуки окажутся в новых клетках. Рассмотрим доску с жуками до перемещения и после. После переползания жуки окажутся на клетках, которые находятся на диагонали исходной доски. Изначально на диагонали четыре клетки, и если в каждой из них был жук, то после переползания на каждой из этих четырех клеток также будет жук.

Однако, на каждой диагонали соседние клетки по углам, то есть на одном углу клетка, где жук был изначально, а на другом - клетка, куда жук переползает. Значит, на клетке, которая не находится на диагонали, ни одного жука не будет, так как она не соединена диагонально ни с какой другой клеткой. Таким образом, это доказывает, что хотя бы на одной клетке не будет жука после переползания.