определить падеж существительных от берёзки к берёзки тропинка становится более узкой

Исходные существительные "берёзка" и "тропинка" подбираются в формах родительного падежа. В данной фразе "от берёзки" и "берёзки" число "берёзки" изменяется с родительного падежа единственного числа (от кого? чего?). Таким образом, падеж существительных в исходной фразе - родительный.