π/2 5. Найти определенный инеграл ʃ (cos х +sin х ) dx. 0

Для решения данного определенного интеграла вычислим сначала неопределенный интеграл \(\int (\cos x + \sin x) \, dx\):

\[ \int (\cos x + \sin x) \, dx = \int \cos x \, dx + \int \sin x \, dx \]

Используя интегралы от элементарных функций, получаем:

\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_1 \]

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_2 \]

Следовательно,

\[ \int (\cos x + \sin x) \, dx = \sin x - \cos x + C \]

Теперь для вычисления определенного интеграла \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + \sin x) \, dx\), подставим пределы интегрирования:

\[ \left[ \sin x - \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \right] - \left[ \sin(0) - \cos(0) \right] \]

\[ = (1 - 0) - (0 - 1) = 2 \]

Таким образом, определенный интеграл \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + \sin x) \, dx = 2\).