В предложении "I'm writing in order to reply to the advertisement in my local paper which asks for people to summer camp." нужно выбрать слово which, т.к. оно указывает на объявление в газете, а не на людей, как в случае с "who".
В данном предложении "This is the moment when we must work fast." правильно использовать when, т.к. оно указывает на время, в которое необходимо работать.
В этом случае "They will take you to your hotel which is called the Loughborough." следует выбрать which, так как указывает на отель, который назван Loughborough.
В предложении "I'm convinced that zoos, as institutions that take care of animals, can play a good role." используйте that, так как упоминается роль зоопарков как учреждений, заботящихся о животных.
В предложении "She wanted to see her husband whom she had not seen for over two months." нужно использовать whom, так как refer back to her husband, который здесь является объектом.
В данном случае "We are a private clinic which treats all kinds of illnesses." выбрать which, так как ссылается на клинику, а не на ее персонал.
Надеюсь, данное разъяснение поможет вам лучше понять выбор слов в предложениях экзаменационных кандидатов.