Наити площадь ограниченной заданными линиями

Привет! Давай разберёмся с задачей.

На фото у нас есть два уравнения:

1. y = x^2 + 6x - 5
2. y = 8x - 2

Нам нужно найти площадь, ограниченную этими двумя кривыми. Вот как это делается:

1. Найти точки пересечения

Для этого приравняем уравнения: x^2 + 6x - 5 = 8x - 2 Приведем уравнение к стандартному виду и решим его: x^2 + 6x - 5 - 8x + 2 = 0 x^2 - 2x - 3 = 0 Решим квадратное уравнение: x = 3 и x = -1

2. Найти интегралы

Интеграл — это площадь под кривой. Разберёмся, какая из функций выше: y = 8x - 2 — прямая, а y = x^2 + 6x - 5 — парабола, которая при большом х уходит вверх.

3. Вычислим площадь интегралом

Посчитаем площадь межу x = -1 и x = 3. Интеграл берем разницу: ∫[от -1 до 3] ( (8x - 2) - (x^2 + 6x - 5) ) dx.

Приводим выражение внутри: 8x - 2 - x^2 - 6x + 5 = -x^2 + 2x + 3

Теперь интегрируем: ∫[от -1 до 3] (-x^2 + 2x + 3) dx

Антидифференцируем по каждой части: -1/3 * x^3 + x^2 + 3x

Теперь подставим пределы: (-1/3 * 3^3 + 3^2 + 33) - (-1/3 * (-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1))

Для x = 3: -1/3 * 27 + 9 + 9 = -9 + 18 = 9

Для x = -1: 1/3 * 1 + 1 - 3 = 1/3 + 1 - 3 = -1 2/3 = -5/3

Теперь вычитаем: 9 - (-5/3) = 27/3 + 5/3 = 32/3

Итак, площадь равна 32/3 квадратных единиц.

Если вдруг остались вопросы или что-то непонятно – пиши!