Решите уравнение х6 - 7х3 - 8 = 0

Для решения уравнения \(x^6 - 7x^3 - 8 = 0\) сделаем замену, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной \(y = x^3\).

Пусть \( y = x^3 \), тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 7y - 8 = 0 \). Это квадратное уравнение можно решить с помощью метода дискриминанта или факторизации.

Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4*1*(-8) = 49 + 32 = 81 \).

Так как дискриминант положителен, то у уравнения два вещественных корня: \( y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2} = \frac{7+9}{2} = 8 \) \( y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2} = \frac{7-9}{2} = -1 \)

Теперь найдем корни исходного уравнения: Для первого корня: \( x_1 = \sqrt[3]{y_1} = \sqrt[3]{8} = 2 \) Для второго корня: \( x_2 = \sqrt[3]{y_2} = \sqrt[3]{-1} = -1 \)

Итак, корни исходного уравнения \(x^6 - 7x^3 - 8 = 0\) равны 2 и -1.