Контрольна робота на тему: «Похідна та її застосування.» 1. Знайдіть критичні точки функції. Визначте, які з них є точками максимуму, а які точками мінімуму: f(x) = 2 x3 + 3 x²-4 2. Точка рухається прямолінійно за законом x(t)=2t+t-1 Знайдіть прискорення в будь-який час. В який момент часу прискорення дорівнюватиме 2 м/с²? 3. Дослідити функцію (знайти проміжки зростання і спадання; найбільше та найменше значення функції) g(x)=2x3-9x2-24x+5 [3;0] 4. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у точці хо f(x)=x³-1, X0=2

Для знаходження критичних точок функції потрібно спершу знайти похідну. Для функції f(x) = 2x³ + 3x² - 4 похідна буде f'(x) = 6x² + 6x. Щоб знайти критичні точки, рівняємо похідну нулю: 6x² + 6x = 0. Факторизацією отримуємо x(x + 1) = 0, що дає нам x = 0 та x = -1 як критичні точки. Далі, можна використати другу похідну для визначення, які з цих точок є точками максимуму або мінімуму.

Щоб знайти прискорення, потрібно двічі продиференціювати закон руху. Закон руху дано як x(t) = 2t + t² - 1. Похідна від x(t) дасть швидкість, а друга похідна від x(t) - прискорення. Прискорення в будь-який момент часу t буде другою похідною x(t): a(t) = 2. Щоб знайти момент часу, коли прискорення буде 2 м/с², потрібно розв'язати a(t) = 2, і це дозволить визначити відповідний момент часу.

Для дослідження функції g(x) = 2x³ - 9x² - 24x + 5 на проміжку [3;0] спочатку знайдемо похідну g'(x). Потім визначимо критичні точки, проведемо дослідження на проміжках зростання та спадання, а також знайдемо найбільше та найменше значення функції на вказаному інтервалі.

Щоб знайти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x³ - 1 в точці x0 = 2, в першу чергу знайдемо значення функції у цій точці та похідну. Значення функції в точці x0 отримаємо підставивши x0 у f(x), а похідну знайдемо як f'(x). Остаточно, складемо рівняння дотичної у даній точці за допомогою формули дотичної, використовуючи знайдені значення та похідну функції.