xy`=4sqrt(2x^2 +y^2)+y,y(1)=2

Для решения этого задания мы можем использовать метод разделения переменных. Давайте начнем с выражения уравнения в виде y(dy/dx) = 4sqrt(2x^2 + y^2) + y. После этого мы можем перенести выражение с y к одной стороне уравнения, чтобы получить y(dy/dx) - y = 4sqrt(2x^2 + y^2).

Затем мы можем разделить дифференциалы переменных для y и x. Это порождает 1/y dy - 1 dx = 4sqrt(2x^2 + y^2) dx. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения относительно соответствующих переменных.

После интегрирования мы получим ln|y| - x = 4/3(2x^2 + y^2)^(3/2) + C, где C - постоянная интегрирования. Далее, используя начальное условие y(1)=2, мы можем найти конкретное значение постоянной С. Подставив значения в уравнение, мы можем найти искомое решение дифференциального уравнения.