Равные отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них, причем AD = АО. а)° Установите вид треугольника ADO и постройте отрезки АВ и CD, о которых говорится в условии задачи, если дан отрезок AD. б)° Докажите, что ВС II AD. в) Сравните отрезки ОМ и СО, если М — середина отрезка AD. г) Найдите угол АЕС, если Е — точка пересечения биссектрис углов ВСО и DAO. д)* Является ли точка О серединой отрезка МН, если М — середина AD, Н — середина ВС?

Равные отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них, причем AD = AO. Подробные ответы на вопросы:

а) Треугольник ADO является равнобедренным, поскольку отрезки AO и AD равны (по условию), следовательно, у него равны два угла у основания. Чтобы построить отрезки AB и CD, надо провести симметрично относительно точки О отрезки AO и DO, которые будут соответствовать отрезкам AB и CD.

б) Вершина В, образованная отрезками AB и CD, параллельна стороне AD, так как они равны, и углы при основании треугольника ADO равны.

в) Отрезок OM равен отрезку CO, так как О — середина каждого из них.

г) Чтобы найти угол АЕС, можно воспользоваться свойствами биссектрис углов. Так как Е — точка пересечения биссектрис углов BCO и DAO, то угол AEO равен углу OEC. Следовательно, угол АЕС равен полусумме углов AEO и EOС.

д) Точка О является серединой отрезка MN, так как М и Н — середины отрезков AD и BC, а О — точка пересечения их диагоналей.