Сектор радиуса 6 и центральным углом в 120° сворачивается в конус. Найти

Для нахождения объема конуса, который образуется при сворачивании сектора радиуса 6 и центральным углом в 120°, мы можем воспользоваться формулой для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]

где \( r \) - радиус конуса, \( h \) - высота конуса.

Мы знаем, что угол 120° в центре равен трети полного угла окружности. Следовательно, окружность, образующая основание конуса, равна \( 360 / 120 = 3 \) частям. Таким образом, радиус \( r \) конуса будет равен половине радиуса окружности, то есть 6 см / 2 = 3 см.

Теперь нам нужно найти высоту \( h \). Для этого мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как высота - это гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого одна из катетов равна радиусу (3 см), а другой катет равен половине длины дуги окружности, соответствующей углу 120°.

Длина дуги, соответствующей углу 120°, равна \( \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = 4\pi \) см.

Теперь применяем теорему Пифагора:

\[ h^2 = (6 - 3)^2 + (4\pi)^2 = 3^2 + (4\pi)^2 \] \[ h^2 = 9 + 16\pi^2 \]

Таким образом, \( h = \sqrt{9 + 16\pi^2} \approx 16.08 \) см.

Теперь подставляем значения \( r = 3 \) см и \( h \approx 16.08 \) см в формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 16.08 \approx \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 16.08 \cdot \pi \approx 50.88 \pi \] кубических сантиметров.

Итак, объем конуса, который образуется при сворачивании сектора радиуса 6 и центральным углом в 120°, равен примерно 50.88π куб. см.