Сектор радиуса 6 и центральным углом в 120° сворачивается в конус. Найти объем конуса

Для расчета объема конуса по известному радиусу сектора и центральному углу, мы должны использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h \]

где \( r \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

Мы можем найти \( r \) и \( h \), используя данные из условия задачи. Поскольку сектор сворачивается в конус под углом в 120°, это означает, что он составляет треть полной окружности (360°). Таким образом длина дуги сектора равна \( \frac{120}{360} \times 2\pi\times r = \frac{2}{3}\times 2\pi\times r = \frac{4}{3}\pi r \). Эта длина дуги сектора также равна \( 6 \), поэтому мы можем найти радиус \( r \):

\[ \frac{4}{3}\pi r = 6 \] \[ r = \frac{3}{4} \times 6 \div \pi = \frac{18}{4\pi} = \frac{9}{2\pi} \]

Теперь, чтобы найти высоту \( h \) конуса, мы можем использовать теорему Пифагора в правильном треугольнике в сечении конуса, который образуется высотой \( h \), радиусом основания \( r \) и полусуммой диаметра конуса (равного радиусу сектора) и высоты конуса (то есть расстояния от центра основания до вершины конуса). Таким образом,

\[ h = \sqrt{{r^2 + \left(\frac{1}{2}r\right)^2}} = \sqrt{r^2 + \frac{1}{4}r^2} = \sqrt{\frac{5}{4}r^2} = \sqrt{\frac{5}{4}} \times r = \frac{\sqrt{5}}{2} \times r \]

Теперь у нас есть значение радиуса и высоты конуса, мы можем найти объем конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times \left(\frac{9}{2\pi}\right)^2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \left(\frac{9}{2\pi}\right) \] \[ V = \frac{1}{3} \times \pi \times \frac{81}{4\pi^2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{9}{2\pi} = \frac{1}{3} \times \frac{81\sqrt{5}}{8\pi^3} \times 9 \] \[ V = \frac{1}{3} \times \frac{729\sqrt{5}}{8\pi^3} \] \[ V = \frac{729\sqrt{5}}{24\pi^3} \]

Таким образом, объем конуса, образованного сектором радиуса 6 и центральным углом 120°, равен \( \frac{729\sqrt{5}}{24\pi^3} \).